Ensembles finis Exemples

$\sqrt{2 n^{2} - 1}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 n^{2} - 1}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 n^{2} - 1 < 0$

Étape 2

Résolvez $n$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 n^{2} < 1$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 n^{2} < 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 n^{2} < 1$ par $2$ .

$\frac{2 n^{2}}{2} < \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 n^{2}}{2} < \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $n^{2}$ par $1$ .

$n^{2} < \frac{1}{2}$

Étape 2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{n^{2}} < \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| n | < \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| n | < \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.2.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.4.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.4.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5

Écrivez $| n | < \frac{\sqrt{2}}{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$n \geq 0$

Étape 2.5.2

Dans la partie où $n$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$n < 0$

Étape 2.5.4

Dans la partie où $n$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} n < \frac{\sqrt{2}}{2} & n \geq 0 \\ - n < \frac{\sqrt{2}}{2} & n < 0 \end{cases}$

Étape 2.6

Déterminez l’intersection de $n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $n \geq 0$ .

$0 \leq n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.7

Résolvez $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ quand $n < 0$ .

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- n}{- 1} > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Étape 2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{n}{1} > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Étape 2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$ .

$n > - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ comme $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$n > - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.7.2

Déterminez l’intersection de $n > - \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $n < 0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < 0$

Étape 2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5